REZOLVAREA ECUATIILOR INTEGRALE LINIARE DE TIP FREDHOLM
CU METODA ECUATIEI PERTURBATE


Cpt.asist.univ. Vasile Carutasu

Lt.col.prof.mil. Alexandru Hampu

1. Orice fenomen pe care ne propunem sa-l studiem are variabile. Modelarea acestora ne conduce de cele mai multe ori la rezolvarea unor ecuatii diferentiale sau integrale. Ecuatiile diferentiale si integrale sunt echivalente, in sensul ca orice ecuatie diferentiala poate fi scrisa sub forma integrala si invers, insa fiecare are metode specifice de rezolvare si aproximare.
De cele mai multe ori nu putem gasi solutia exacta a unei ecuatii si poate nici nu ne intereseaza sa gasim solutia exacta, insa o aproximare a ei si o modalitate (metoda) de a aproxima solutia acelei ecuatii „oricat de bine" ne intereseaza. Acest lucru il rezolva metodele numerice: „aproximeaza" solutia unei ecuatii oricat de bine. Exista multe metode de aproximare a solutiei unei ecuatii integrale (daca aceasta are solutie). In acest articol ne ocupam de aproximarea solutiei unei ecuatii integrale liniare de tip Fredholm cu metoda ecuatiei perturbate. Aceasta consta in atasarea unei alte ecuatii („perturbata") mai simple care poate fi („rezolvata") si a carei solutie este „oricat de aproape" de solutia ecuatiei date.

2. Consideratii generale
Fie ecuatia integrala
(2.1)
unde  si  sunt cunoscute.
Un prim rezultat cu privire la existenta solutiilor pentru ecuatia (2.1) poate fi obtinut prin metoda aproximatiilor succesive:
Teorema 1. Ecuatia (2.1) admite o unica solutie continua pe [ a,b] daca are loc:

, (2.2)
unde .
In demonstratia acestei teoreme apare o functie importanta:
, (2.3)
unde 
iar ,
care se numeste nucleu rezolvent asociat lui k.
Nucleul k si nucleul rezolvent R sunt legate prin urmatoarele ecuatii:
(2.4)
(2.5)
Rolul insemnat al ecuatiilor (2.4) si (2.5) reiese din urmatoarea
Teorema 2. Sa presupunem ca exista o functie R pentru un l dat (nu obligatoriu satisfacand (2.2)) continua pentru (t, s) astfel incat sa verifice (2.4) si (2.5). atunci ecuatia (2.1) are o mica solutie pentru acea valoare a lui l si ea este data de:
(2.6)
3. Metoda ecuatiei perturbate
Evident ca nu putem gasi nucleul rezolvent pentru orice ecuatie integrala liniara de tip Fredholm. Ideea este de a „atasa" ecuatiei integrale date o ecuatie integrala al carei nucleu rezolvent sa il putem gasi si a carei solutie sa se „apropie" oricat de mult de solutia ecuatiei date.
Fie ecuatia integrala:
(3.1)
si ecuatia „perturbata"
(3.2), unde  poate fi eventual degenerat, iar f, , si ,.
Teorema 3. Daca urmatoarele conditii sunt indeplinite
(3.3)
(3.4)
unde:
e nucleul rezolvant al lui ,
(3.5)
si
(3.6)
atunci are loc inegalitatea

.

Altfel spus, daca  este „aproape" si  este „aproape" de K, atunci si  se „apropie" de x (respectandu-se relatiile (3.4) si (3.6)).
Vom da in continuare un exemplu de rezolvare a unei ecuatii integrale liniare de tip Fredholm cu nucleul degenerat prin metoda ecuatiei perturbate (ecuatia perturbata fiind chiar ea).
Fie ecuatia:
(3.7)
Nucleul este:

Vom cauta nucleul rezolvent R asociat lui K.
Avem:

Prin inductie se poate demonstra ca:


Daca , atunci ,

adica 

Avand in vedere teorema 2 putem scrie:

.

Efectuand calculele obtinute:

Bibliografie

1. Munteanu I. – Analiza functionala. Capitole speciale, Universitatea „Babes-Bolyai", Cluj-Napoca, 1990.
2. Munteanu I. – Analiza functionala, Universitatea „Babes-Bolyai", Cluj-Napoca, 1993.
3. Scheiber E. – Analiza numerica. Curs si culegere de probleme, vol. II, Universitatea din Brasov, 1985.

                                                                                  Inapoi la cuprins